On connaît tous les spectaculaires illusions d’optique qui trompent notre vue et notre cerveau. Les illusions cognitives sont moins connues, et pourtant elles existent et ne sont pas moins étonnantes.
Économe et en recherche d’efficacité, notre cerveau ne prend pas toujours le temps de tout analyser consciemment. Cela serait un véritable enfer s’il fallait réfléchir à chaque fois à comment poser un pied devant l’autre ou bien contrôler si tout est bien normal dans votre environnement habituel.
Cette façon de fonctionner permet donc de gérer des informations rapidement, et en règle générale, c’est très efficace. Malheureusement, c’est aussi la possibilité de commettre des erreurs de jugement, sans pouvoir les éviter.

Voici donc quelques petites énigmes mathématiques utilisées dans des études en psychologie. Elles vont vous permettre de ressentir les limites de votre esprit, de constater qu’il cherchera à vous tromper en vous fournissant une réponse d’apparence évidente mais qui se révélera fausse.

La batte et la balle

Voici le problème le plus simple et le plus connu, celui de la batte et de la balle. C’est un test qui déstabilise les étudiants des plus prestigieuses universités !

Vous avez acheté deux objets distincts, une batte et une balle. Au total, vous avez payé 1,10 euros (c’était les soldes). 
La batte coûte 1 euros de plus que la balle.
Combien coûte la balle ?

Je vous laisse réfléchir un peu. Prenez le temps, arrêtez-vous. À ce stade, vous avez déjà visualisé une réponse, très rapide, en moins d’une seconde. Je suis presque certain que vous avez pensé à la réponse suivante : 10 centimes.
Cette réponse est fausse. Pourquoi ? Parce que si la balle coûte 10 centimes, alors la batte, à 1 euro de plus, fait 1,10 euros, et donc le total sera de 1,20 euros.
La vraie réponse, c’est 5 centimes. Si la balle coûte 5 centimes, et la batte 1 euro de plus, soit 1 euros et 5 centimes, alors le total sera bien de 1,10 euros.

La mare et le nénuphar

On reste ici sur quelque chose d’assez simple. Voici l’énoncé :

Un nénuphar se trouve au milieu d’une mare parfaitement ronde. Chaque jour, le nénuphar double sa surface. Au bout de 40 jours, il rempli parfaitement la mare. 
Au bout de combien de jour en remplissait-il la moitié ?

Je suis quasi-certain que votre réponse intuitive a été : 20. Ce n’est pas la bonne réponse, et il y a de grandes chances pour que vous vous en doutiez. Pas mal de gens parviennent à trouver la bonne réponse, qui est de 39, mais cela demande toujours de réfléchir un peu, et surtout d’exercer son inhibition cognitive. En effet, même les mathématiciens qui ont fait ce test ont pensé « 20 » tout de suite, mais ils ont bien senti que ça ne collait pas, et en réfléchissant un peu, ils ont trouvé la bonne réponse.

Les trois boites

Alors là, attention, on entre dans une autre catégorie ! Celle-ci a fait surchauffer le cerveau des grands scientifiques titulaire du prix Nobel ! Pourtant, la réponse repose sur un calcul de probabilité très simple, enfantin même, mais cette vraie réponse est vraiment très contre-intuitive.

Imaginez 3 boites opaques posées sur une table. À l’intérieur d’une de ces boites se trouve un billet de 100 euros, que bien évidement, en bon capitaliste, vous avez envie de gagner. 
Vous devez désigner la boîte dans laquelle vous pensez trouver le billet. La désigner, mais pas l’ouvrir. À ce stade, vous ne pouvez pas savoir où se trouve le billet, vous avez donc 1 chance sur 3.
Ensuite, vous ouvrez une des deux autres boîtes, et vous constatez qu’elle est vide.

Voici la question : Est-il intéressant, à ce stade, de changer votre choix et de désigner l’autre boite comme étant probablement plus susceptible de contenir le billet ? Ou bien, cela ne change-t-il rien du tout ?
Je reformule. Après avoir désigné une boite censée, peut-être, contenir le billet, puis avoir ouvert une autre boite qui s’est avérée être vide, devrais-je toujours penser que le billet se trouve dans la première boite que j’ai désigné, ou a-t-il plus de chance de se trouver dans l’autre ?

Il y a de grandes chances pour que vous pensiez que ça ne change rien. Que la probabilité de trouver le billet est la même, avant l’ouverture de la boite vide, et après. Il y a de grandes chances pour que vous pensiez qu’il vous reste toujours 1 chance sur 3 pour trouver ce billet. 
Pourtant, ce n’est, une fois de plus, pas le cas. En réalité, la probabilité de trouver la bonne boîte qui était au début de 1 chance sur 3 (ou, si vous voulez, 33,3%), a changé après l’ouverture de la boite vide. Elle est bien restée à 1 chance sur 3 pour la boite que vous avez désignée en premier, mais elle est passée à 2 chances sur 3, soit 66,6% pour l’autre boite ! Celle que vous n’avez pas choisi au départ et que vous n’avez pas ouverte.
Si vous n’arrivez pas à saisir, prenez le temps de relire, formulez à haute voix ou faîtes un dessin.
Si c’est toujours difficile, je vais tenter de vous aidez un peu. Au départ, sans que l’on puisse savoir où se trouve la récompense, les probabilités sont réparties équitablement, soit 1 chance sur 3 (33,3%), pour chacune des 3 boîtes. Ensuite, vous désignez une boîte comme potentiellement gagnante, mais à ce stade vous ne savez rien. Cette boîte « A » a toujours 33,3% d’être gagnante. À côté, vous avez les deux autres, « B » et « C », qui représentent un groupe « B+C » où la probabilité gagnante est de 2 sur 3, soit 66,6%. En ouvrant une boîte, vous en éliminez une tout en conservant cette probabilité de 66,6%… mais sur une seule boîte !

Les quatre cartes

Celui-là est un peu plus difficile à comprendre au niveau de l’énoncé. Prenez donc bien le temps de vous figurer les cartes que je vais vous décrire.

Voici quatre cartes. Sur chacune d’entre-elles est inscrit un chiffre ou une lettre, comme ceci :

E K 4 7

Sur le recto, deux lettres possibles : E ou K.
Sur le verso, deux chiffres possibles : 4 ou 7.
La question : Si je veux vérifier l’affirmation qui va suivre, quelle(s) carte(s) dois-je retourner ?
« Si une carte a une voyelle d’un côté, elle a un chiffre pair de l’autre. »

Vous avez peut-être pensé à retourner la première carte, puis la troisième. En retournant la première, vous vous dîtes « C’est une voyelle, voyons si un chiffre pair se trouve de l’autre côté », ce qui en effet, est une bonne réponse puisque cela permettrait de confirmer la validité de l’affirmation, ou le contraire si vous tomber sur un chiffre impaire.
En revanche, si vous avez choisi de retourner la troisième carte, vous vous trompez. En effet, vous pouvez très bien retourner la carte et trouver une consonne, mais cela ne violerait pas la règle énoncée. Relisez bien la phrase en question.
En revanche, retourner la quatrième carte nous offre une assurance certaine de vérifier notre affirmation ! Si vous retournez la quatrième, la carte marquée d’un « 7 », et que vous y trouvez une voyelle, alors vous prouverez avec certitude que l’énoncé est faux.

Le problème du médecin

En voilà un dernier pour la route. Celui-là contient un peu de calcul mental, mais ça reste plutôt simple. Les étudiants en médecine à Harvard s’y sont pourtant cassé les neurones !

Une maladie touche 1 personne sur 1000. Cette maladie peut être détectée par un test. Ce test a un taux d’erreur positive de 5%, c’est à dire qu’il donne des faux positifs dans 5% des cas.
Un individu passe le test. Il se révèle positif.
Quelle est la probabilité qu’il soit effectivement atteint ?

Beaucoup de personnes se trompent et répondent 5%, même en essayant de calculer. Ce qui est inquiétant, c’est que les étudiants en médecines se trompent aussi… La vraie réponse, résultat d’un calcul de probabilité, est d’environ 2%.
En effet, on sait que 5% des résultats positifs sont des faux positifs. Cela veut dire que sur 100 personnes saines, 5 sont tout de même positives au test. On sait aussi que la maladie touche 1 personne sur 1000, ce facteur ne doit pas être oublié. 
Si on part sur une base de 100.000 personnes, nous aurons donc 99 900 personnes saines, et 4995 faux positifs (5% de 99 900 qui font partie du groupe sain). Toujours sur cette population de 100.000 personnes, nous avons 100 malades (1 sur 1000).

100 / (100 + 4995) =100 / 5095 = environ 0.02 (sur 100.000), soit environ 2%.